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Pagina 2/9Una macchia di inchiostro e un record è ... omoiomorfikoi... come un cerchio e un rettangolo,... o anche una sfera ed un ellissoideNel 1736, Euler ha dimostrato che il problema dei ponti di Königsberg è risoltoe per provarlo nominare il "grado" di un vertice nel grafico (il numero èlinee che raggiungono la parte superiore). Un percorso è un cerchio quando la Euleril grado di ogni picco è un numero pari. H omos presenza di almenoGrado Summit inutili ponti problema a Königsberg, vietaesistenza di un ciclo di Eulero, e quindi l'enigma non è una soluzione. Il cerchio di Euleroloipon è un oggetto con una capacità tipica garantire invariata. A ungeniko modo la maggior parte sarebbero anche dire che l'oggetto della topologia è quello diPresentare le caratteristiche dell'oggetto invariato studiando. traInvariante, ricordiamo la ben nota caratteristica di Eulero-Poincaré, cheè stato introdotto da Eulero nel 1752 per la poliedri curva. H è caratteristicaè che il numero di lati e dei vertici ridotto il numero deibordi in un poligono è sempre kyrto 2.Un cubo ha 6 facce, 12 spigoli e 8 vertici: la caratteristica di Eulero-Poincaré8-12 è 6 = 2.Nel dodecaedro: 12 lati, 30 spigoli e 20 vertici (20-30 dicembre = 2).
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Pagina 3/9E più recentemente in nodi taxinomisi altri la teoria, che esamina ladiverse configurazioni che possono assumere una curvatura nella zona,topologia incontra una seconda scoperta importante di nuove costanti (ilpolinomi di Jones, 1983). Parola questi, alcuni nodi ricevere gli stessi polinomiJones e lo studio delle proprietà invarianti rimane in gran parteLa prova topologia aperta che nasconde molti misteri akomi oggi.Da sinistra a destra, i nodi elementari (un ciclo peristramenos), ilnodi di trifoglio e gli otto nodi: questi nodi sono tre oloi diakekrimmenoitra di loro, il che significa che per ottenere la sequenza uno dall'altro devonokopsoume il archiko.Con un po 'di colla e tarii ...Gli oggetti della topologia, chiamati topologikes pollaplotites (topologicaVarietà) , formando un zoologiko giardino comprensibile, ma poco generoso:sforzo titanico di mettere una classe, lavora esclusivamente in matematica,che sembrano non aver perso la loro immaginazione, così Accettare lasfida. Ma prima di vedere le idee innovative di Poincaré, in particolare, lasciafare un incontro rapido con alcuni oggetti molto familiaritopologia ...Abbiamo già incontrato i grafici ei nodi, che è di dimensione 1.Le cifre dopo le curve sono più semplici superfici naturali (speciedimensione 2). Fino a quando un disco è in un omoiomorfikos rettangolare, è sufficientestriscia di carta e un po 'di kolla per fare la prima pollaplotita: l'cilindro , che Akoma un bambino sa e può essere facilmente costruitoabbinare i due lati opposti. H corrispondente operazione matematica è una volta epoco più complesso e la posizione di "Kollas topologici" ciò porrebbe l'un quoziente corpo. Questa unione è simboleggiata dal diagramma di sinistraimmagine: i lati con le frecce devono essere identificate con il diploma.Costruzione di un cilindro kollontas lati di un rettangolo di spiaggia / me.
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Pagina 4/9Se la striscia di carta abbastanza lunga, si può anche contenere l'mezzo giro prima che l'Unione: tote otterrà il famoso film di Möbius ,in memoria del matematico che ha immaginato nel 1858. E 'il più aploesempio di un non-topologica prosanatolosmenis pollaplotitas : il filmMöbius richiede solo un lato, all'interno o all'estero (il rapporto deveha dichiarato non-oriented). Nel diagramma, le frecce sono in contrastomostra l'inversione degli orientamenti di bordi collegati tra loro.Costruzione del Möbius film.Torniamo ora al cilindro in cui incollare le due circolariestremi: il risultato sarà un anello . Quando la sfera, così l'anelloè un topologica pollaplotita prosanatolosmenos e senza arti. Ma,vede chiaramente dalla palla dall'esistenza di un 'buco'.La costruzione dell'anello.E 'relativamente aplo di costruire un nastro di Möbius di una curvastriscia di carta. Se ora si attaccano labbra di un cilindro con oppostoabbiamo un nuovo oggetto di orientamento proklitiko la cui costruzionerichiesta per spostare dall'interno del cilindro con una problematicaintersezione in spazio tridimensionale. Ma con molto coraggio e di fede chenulla è impossibile, possiamo ottenere lo strano oggetto mantenimentochiamato la bottiglia di Klein , in nome del matematico tedesco che ha trovato nelfine del XIX ° secolo.H bottiglia di Klein di vetro costruita da Clifford Stoll.
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Pagina 5/9Costruzione di una bottiglia di Klein.Parola loro, purché a partire da un rettangolo i cui bordixanakolliountai vicenda, dovremmo vedere il taglio come qualcosa che èvisibile, come nelle immagini qui sopra. H nasce dalla difficoltà che viviamo inuno spazio tridimensionale, e per dimostrare che tale deve costruire labottiglia di Klein, chreiazomastan avrà una dimensione aggiuntiva: l'intersezione diBottiglia di Klein con se stessa è così irreale come questo di solitoignorare la ricostruzione tridimensionale del cubo.Vediamo un cubo o 12 EFTH. parti del piano.Possiamo immaginare il tumore sopra con il cubo con profilati segnati in rosso sul piano. H rappresentazione della bottiglia Klein nello spazio ditre dimensioni comporta essere mantenuto in sezione della bottiglia.Così il potere dallo stesso fenomeno di rappresentazione del cubolivello.H bottiglia di Klein "vivere" nello spazio di quattro dimensioni ed è esempio pollaplotitas topologici senza arti e non orientati.A differenza della palla o l'anello, non ha né all'interno né all'estero! Tuttavia, nulla ci impedisce di immaginare e di altri compostisostituire i lati di un rettangolo da quelle di un poligono:tote acquisiscono una serie di collettori topologici con proprietà diverse,con o senza arti, con o senza orientamento, con uno o più "buchi", eccCon un po 'di fantasia e kolla le possibilità sono grandi.Tutte queste strutture sarebbe rimasta allo stadio di semplice curiosità se moltiapplicazioni della topologia non era al di fuori del campo della matematica: comestrumento in fisica teorica, per esempio, ma anche come fonte diparsouziazetai tale ispirazione in "morfogennisi" di R. Thom , o più di recente"Il sifone a forma di mondo" di JP Luminet (che si basa principalmente
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Pagina 6/9associazioni di natura analoga applicata a pollaplotites dimensione topologica3).A sinistra, il real-provoliko livello è come una bottiglia di Klein, una sortaanaparistomeno in tre dimensioni (le incisioni sono anche extra-reale). Un collage speciali lati di un ottagono dà un anello con due "buchi"destra.Poincaré, l'iis idrsiis topologia algebricaIl ruolo critico svolto dalla topologia in matematicagià apprezzata da Poincaré (1854-1912) .Egli scrisse: "oi Oloi diaforetikoi dromoi I diadochikaergasthei portato alla Situs Analysis (einai il paliotopologias il nome). Eicha la necessità di datiquesto settore sia synechiso per danzatrice i miei studi di malattie sessualmente trasmissibilicurve da diaforikes orizontai E exisoseis a dancerepakteino in gentry diaforikes exisoseis Eeidikotera il problema di questi corpi Trion.PER Eicha la necessità di studiare non omomorfonfunzioni di due variabili. Eicha il loro bisogno di PERstudio di integrali multipli e per applicare a studiare in questadiataragmenis esplosa soddisfare una funzione. Previsione Telika in Analisi Situsuno significa Thixo FOR simantiko un problema di gruppi theorias, la ricercadiakritikon dei gruppi finiti, o gruppi all'interno di un perilamvanontaimia dato gruppo continuo. "Perché non è possibile deformare una sfera in un anello, senza larip? Come possiamo descrivere e charastirisoume questi duepollaplotites diverso? Naturalmente ci sono alcune proprietà elementari(Esistenza delle frontiere, orientamento) e pochi altri come ad esempio il sesso di unpollaplotitas Riemman certo con i numeri e Betti (sec. XIX)etc, ma la pubblicazione nel 1895 di Analysis situs segnerà il destino ditopologia moderna. Il Poincaré si espone davvero la brillante idea di collegarepollaplotites su alcune costanti che non sono più numeri, ma completastrutture algebriche! previsti dal Lagrange e di Galois, situati
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Pagina 7/9permanentemente nella geometria da Klein nel programma che porta il nomeErlangen, queste strutture non sono altro che gruppi. La situs Analisi eaggiunte successive in occasione della nascita di entrambi forti ed entrambiteoria fertile, onnipresente nella grande maggioranza delle variebranche della matematica moderna, la topologia algebrica e dietro a questoil legame algebra.Le scoperte di Poincaré articola intorno a due idee chiave: 1. sono suscettibili di essere associato con un "gruppi confessionali" pollaplotitainterpretando così caratteristica di Eulero-Poincaré e numeri di Bettiil grado di gruppi di legame 2. in grado di codificare molte informazioni su un pollaplotitada un oggetto nuovo " gruppo fondamentale "o" gruppo di Poincaré ".I due concetti non sono completamente estranei l'uno all'altro Finché il primo, il legamesquadra viene facilmente dalle nozioni delle pietre angolari del team.Dal gruppo Iin elaziikoiiia ziin fondamentaleDopo la carta kolla e abbiamo bisogno del elastikotita! Chi in particolare, ilmathimatiko oggetto di interesse è la chiusa elastikotitacurve su un pollaplotita topologica. Due tali curve saranno chiuseomotopikes è se si possa passare da una curva all'altra con undeformazione permanente. Ad esempio, il livello e la superficie della sferadue curve chiuse sono sempre omotopikes. Oppure, possiamopassare dalla curva uno all'altro senza ottenere dalla superficieessi appartengono. Questa capacità assicurano chiamato "semplice synektikotita" e svolge unousiastiko ruolo nella formulazione della congettura di Poincaré.Il piano è semplice synektiko: due curve chiuse sono sempre lì omotopikes (qui uncurva "otto" e un cerchio).H gode anche di capacità di ball garantire questo.H Parola situazione sono diverse per la maggior parte delle topologico collettori! Ad esempio, curve chiuse in un cilindrosuddivisi in due categorie: quelli che sono avvolti attorno al cilindro e dalappartiene al centro interno del cilindro e quelli che il loro centroappartiene alla superficie del cilindro. È infatti impossibile, come mostratonella figura qui sotto il cilindro di falsare il cerchio blu cheIn concomitanza con Prassino. Allo stesso modo possiamo vedere tre diversiclassi di curve chiuse sulla superficie di un anello.
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Pagina 8/9Sul cilindro e la prassinoicerchi blu sono omotopikoi. IlLo stesso avviene sulla superficie dianello con cerchi blu,rosso e Prassino.Il ruolo dei capisaldi della squadra è solo quello di classificare il chiusouno pollaplotitas curve, a seconda che sia o non sia omotopikes(Incorporando anche alcune altre informazioni - come il "numero diavvolgimenti "). Complessità di un pollaplotitas H rappresentato in modogruppo fondamentale di pollaplotitas. Alcune altre caratteristiche (come le associazioni)tradotto da "Calcoli" nei gruppi fondamentali. mantenimento inponte non solo permette di beneficiare della possibilità di algebra diproblemi topologici di studiare la natura, ma nel corso di tale Stato per capire ill'integrazione della scienza matematica.La presunta PoincaréA pollaplotita topologica con i più semplici requisiti di base come il livello di gruppo ola palla si chiama "semplicemente coerente." Per contro, l'anello, cilindri, pellicoleMöbius pollaplotites e molti altri non è solo coerente. Trale superfici di tutti i omos la palla occupa una posizione notevole perchéL'unica è una superficie che è synchronos senza limiti, solo coerenti ecompatto (che significa chontrika che limitata nello spazio, a differenzalivello).L'intuizione geniale di H Poincaré previsto che la capacità di assicurare che la palla (nonlimiti, compattezza e semplice synektikotita) presenta non solo il solitosfera, ma anche le sfere di dimensione superiore. Il cerchio e la sfera hannosorelle veramente grandi nello spazio di quattro dimensioni e comeup. Ma le equazioni delle sfere mostrano il miglior rapportodalle forme come si vede dalla tabella sottostante.NOMEEXTHSOSISIMBOLOCicloSferaGirato in 3 dimensioni...Sfera in n-1 dimensionix2Y +2R =2x2Y +2+ Z2R =2x2Y +2+ Z2+ T2R =2...x il 1 °2+ X dueDue + ... + x n-one2R =2 il 1 ° due il 3 n-1Le equazioni di dimensione ≥ 3 palle copia di tale ciclo osfera usuale.
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Pagina 9/9H congettura di Poincaré afferma che: Tutti i pollaplotites compatta dimensione n = 3 (opiù), senza limiti e impresa giusta, è un omoiomorfikes reamen dimensioni. Nel corso del 20 ° secolo, molte opere sono state dedicatela supposizione e 1961-62, la congettura è dimostrato per Oles dimensionimaggiore di 5 (n = 5 dal, Zeeman n ≥ 7 e n ≥ 5 dal Smale, per n = 6dalle Stallings). Vent'anni dopo, il caso n = 4 è indicata dalFreedman (1982), in modo che non vi era altro che dimostrare la propria tesi indimensione 3. Ma la prova monumentale difficoltà di questo ultimocaso appare degno di questa congettura tra i sette "problemiMillennium ", il Clay Mathematics Institute .Nel 2002 e nel 2003, ampliando l'attività di P. Hamilton (1982), il GrigoriPerelman Internet dà la tre articoli insieme tutte le necessarieprove per dimostrare una previsione in ofeilomeni W. Thurston , alla fine del 1970la "congettura geometrikopoiisis" 1 . Ma questo è niente di più che una ipotesiPoincaré per n = 3! Il W. Thurston O G. PerelmanLygatsikas ZenonVarvakeio LiceoGennaio 20071 Immagino di sì il potere con un interessanti conseguenze cosmologiche. In breve, la logiaQuesta congettura dice che l'universo ha la struttura sia del piatto o sopra-o geometria sferica.
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Da Poincaré a Perelman: un secolo di ordinaria matematica IntroduzioneLa congettura formulata da Henri Poincaré nel 1904 `e divenuta nel secolo scorsouno dei pi`u famosi e importanti problemi aperti della matematica: un problema daun milione di dollari (uno dei sette problemi per i quali nel 2000 il Clay MathematicsInstitute ha bandito il Millennium Prize).Alla fine del 2002, senza alcun clamore, il matematico russo Grisha Perelman haposto nell’arXiv un articolo (che sarebbe improprio chiamare preprint) dal titolo “Theentropy formula for the Ricci flow and its geometric applications”. Tra le applicazioni c’`eappunto dal dimostrazione della congettura di Poincaré (peraltro neppure menzionatanell’articolo).In effetti Perelman dimostra la congettura di Thurston sulla geometrizzazione delle3-variet`a, seguendo l’idea proposta da Hamilton nella seconda met`a degli anni ’90 diutilizzare allo scopo il flusso di Ricci sulle variet`a riemanniane e utilizzando risultati diGromov sulle relazioni tra topologia e curvatura di tali variet`a.Mi limiter`o qui a delineare in modo molto superficiale questo risultato, la cui espo-sizione richiederebbe competenze geometrico-analitiche profonde, svolgendo piuttostoalcune riflessioni sulla storia di questa “straordinaria” vicenda, soprattutto per metterein luce alcuni aspetti “ordinari” del fare matematica.In questo senso, il titolo della conferenza vuol essere doppiamente provocatorio.In primo luogo, con l’ovvio riferimento all’“ordinaria follia” di Bukowski. L’idea che ilmatematico sia tendenzialmente folle, squilibrato o quantomeno caratterizzato da com-portamenti autistici sembra radicata nell’immaginario collettivo. Si pensi per esempioai film “Morte di un matematico napolateno” o “A beautiful mind”.Nella primavera del 2003 i media hanno diffuso la notizia della dimostrazione dellacongettura di Poincaré, evidenziando soprattutto due aspetti: Perelman aveva lavoratoper sette anni nel pi`u completo isolamento, senza pubblicare nulla (con i tempi che cor-rono avrebbe rischiato il licenziamento prima di concludere), e non sembrava interessatoa pubblicare i propri risultati cos`ı come richiesto dal bando del Millennium Prize (néera chiaro se avesse meno di 40 anni, come richiesto per ottenere la medaglia Fields).La fantasia della gente si sar`a sicuramente scatenata nell’immaginare Perelmanchiuso per sette anni nel suo studio, in uno stato semi-vegetativo di totale abbruti-mento, ossessionato dal proprio lavoro. Circa il milione di dollari, alcuni intervistatiosservarono che dopo tutto Perelman avrebbe potuto essere pago del risultato raggiun-to, ma naturalmente erano altri matematici. Tutto ci`o non pu`o che aver contribuito arafforzare l’immagine negativa dei matematici presso l’opinione pubblica, affiancandolaa quella dei magistrati, all’epoca bollati come “disturbati mentali”.La seconda provocazione `e nei confronti degli stessi matematici, che tendono spessoad accentuare la celebrazione del genio e del risultato “straordinario”, trascurando illavoro “ordinario” che c’`e dietro e il contesto di una comunit`a (scientifica e non) senzala quale la genialit`a non potrebbe esprimersi. Su questi temi, circa 15 anni fa si `esviluppato un ampio dibattito sulle colonne del Bullettin dell’AMS (con un’eco anchesu Le Scienze). Molto interessante `e un articolo di Thurston sulla sociologia del farematematica e sull’importanza della comunicazione (che non `e solo divulgazione).–1–
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D’altra parte, il modo con cui la matematica viene proposta nelle scuole, comedisciplina puramente logico-deduttiva, spesso ridotta a un ammasso informe di tecnichedi calcolo senza alcun riferimento storico-culturale, non `e certo invitante per la maggiorparte gli studenti. L’idea storicamente radicata che la matematica non sia niente altroche la massima espressione del pensiero razionale risulta quanto mai deleteria, oltre chediscutibile (per dirla con Poincaré, “`e attraverso la logica che noi dimostriamo, ma `eattraverso l’intuizione che inventiamo”). Per fortuna il sogno di Hilbert di meccanizzarela matematica si `e rivelato un’illusione, altrimenti oggi si occuperebbero di matematicasolo i computer.Un risultato matematico `e molto di pi`u che non la semplice conseguenza di unacatena di deduzioni logiche, per quanto mirabile possa essere. Il percorso che porta alsuo conseguimento non `e mai lineare: ci sono intuizioni, errori, aggiustamenti, risultatiintermedi. La vicenda della congettura di Poincaré, a partire dagli stessi lavori inizialidi Poincaré, `e significativa da questo punto di vista.Spazi euclidei e sfereLa congettura di Poincaré riguarda una caratterizzazione topologica (omotopica)della sfera 3-dimensionale S3 = {x ∈ R4 | d(0,x)=1} 5 R3 ∪ {∞} (in dimensione pi`ubassa la questione `e abbastanza elementare). Una analoga caratterizzazione pu`o essereconsiderata per tutte le sfere n-dimensionali Sn = {x ∈ Rn+1 | d(0,x)=1} 5 Rn ∪{∞}con n ≥ 4 (congettura di Poincaré generalizzata).Variet`a (chiuse orientabili)Poincaré “topologo” concentra la propria attenzione sulle variet`a, cio`e gli spazi lo-calmente euclidei: curve, surpefici, 3-variet`a, n-variet`a. Naturalmente, si pone il proble-ma della classificazione topologica delle variet`a dal punto di vista globale. In particolare,riesce a classificare “completamente” le superfici chiuse orientabili.La sua congettura afferma che S3 `e l’unica 3-variet`a chiusa orientabile semplice-mente connessa (in cui ogni cappio `e contraibile, cio`e con gruppo fondamentale banale).Lo stesso in dimensione 2 segue immediatamente dalla classificazione delle superficichiuse. Nella versione generalizzata la congettura afferma sostanzialmente che Sn `e l’u-nica n-variet`a chiusa orientabile con il tipo di omotopia di Sn (cio`e con tutti i gruppidi omotopia banali fino all’ordine n − 1).Triangolazioni e omologiaL’idea fondamentale che introduce `e quella di assumere che la variet`a sia decom-posta in pezzi standard (archi, triangoli, tetraedri, ecc.), e di trattare algebricamente ilmodo in cui tali pezzi sono assemblati insieme a dare tutta la variet`a. Ci`o gli consentedi descrivere la struttura globale delle variet`a mediante strutture algebriche (omologia).Il problema dell’esistenza di una tale decomposizione (triangolazione) e della suaunicit`a a meno di equivalenze combinatorie `e divenuto famoso come “Auptvermutung”ed `e stato risolto da Rad`o nel 1924 per le superfici, da Moise nel 1952 per le 3-variet`a, esolo negli anni ’60 per le variet`a di dimensione superiore. Anche il problema pi`u semplicedell’invarianza topologica dell’omologia, individuato ma lasciato aperto da Poincaré, fusuccessivamente risolto solo nel 1915 da Alexander.–2–
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La congettura di PoincaréAlla fine del XIX secolo, Hilbert scriveva i “Grundlagen der Geometrie” (1899),riformulando gli assiomi di euclide con il rigore richiesto dai tempi e con l’obiettivo diaffrancere la geometria dalla sua millenaria dipendenza dalla nostra percezione fisicadello spazio (erano gi`a state scoperte le geometrie non euclidee). Il risultato era unacostruzione meravigliosa, alla cui origine c’`e solo l’insieme vuoto (∅ ❀ N ❀ Z ❀ Q ❀R ❀ modello “reale” dello spazio).Nel frattempo Poincaré scriveva l’Analysis situs (1895) seguito da una serie dicinque complementi (1899-1904). Si tratta di varie centinaia di pagine, che sembranoscritte “di getto”, comunque con uno stile e uno spirito completamente diversi da quellidi Hilbert, badando pi`u alla sostanza che al rigore formale. Pagine piene di intuizioni eidee che sarebbero poi state sviluppate nei decenni a venire, dando vita ad una nuovabranca della geometria: la topologia (in particolare algebrica e geometria).L’idea intuitiva di trasformazione/deformazione continua, che sta alla base dellatopologia, `e ben radicata nelle nostre strutture mentali, pi`u del concetto di isometriao similitudine, perché legata alla percezione della nostra identit`a e integrit`a corporeain continua evoluzione. Purtroppo per`o non `e possibile trattare le trasformazioni con-tinue dal punto di vista matematico in modo altrettanto elementare (non bastano letrasformazioni lineari).Le affermazioni di Poincaré sono spesso supportate da discussioni informali, piut-tosto che da dimostrazioni rigorose come sarebbero piaciute ad Hilbert. D’altra partePoincaré diceva a proposito della costruzione formale di N: “se ci vogliono 27 equazioniper provare che 1 `e un numero, quante ce ne vorrano per dimostrare un vero teorema?”(per esempio il teorema di Jordan).La maggior parte delle affermazioni di Poincaré saranno poi dimostrate in seguitoda altri, molte deventeranno teoremi fondamentali della topologia, altre si rivelerannoerrate (come accadde peraltro anche nella vicenda dell’oscar per il saggio sul problemadei tre corpi). Ed `e proprio da un clamoroso errore che parte la nostra storia.Nel II complemento (1900), Poincaré afferma (senza alcun cenno di dimostrazio-ne) che S3 `e l’unica 3-variet`a chiusa orientabile in cui ogni cappio sia omologicamentebanale (analogamente a quanto vale per S2 in dimensione due). Nel V complemento(1904) ritratta, mostrando con un controesempio (la sfera omologica dodecaedrale) chel’omologia non `e sufficiente a determinare la topologia di una 3-variet`a. Pone quindiil problema in termini di omotopia (gruppo fondamentale): `e vero che S3 `e l’unica 3-variet`a chiusa orientabile in cui ogni cappio `e contraibile (semplicemente connessa)? `Equesto il problema passato alla storia come “congettura di Poincaré”.Per un intero secolo matematici di prim’ordine hanno cercato, senza successo, didimostrare la congettura. Basti pensare che prima di Perelman quattro medaglie Fieldssono state attribuite per lavori relativi alla congettura di Poincaré: Milnor (1962) per lesfere esotiche, Smale (1966) per n > 4, Thurston (1982) per il lavori sulla geometrizza-zione delle 3-variet`a, Freedman (1986) per n = 4. Inoltre almeno sette premi Veblen (perla geometria) sono stati assegnati per lavori fondamentali correlati alla dimostrazionedella congettura: Papakyriakopoulos (1964), Smale (1966), Thurston (1976), Gromov(1981), Freedman (1986), Hamilton (1996), Cheeger (2001).–3–
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La sfera omologicaLa sfera omologica dodecaedrale si ottiene identificando le facce opposte di undodecaedro con una torsione di 36◦. Ogni spigolo del quoziente deriva dall’identificazionedi tre spigoli del dodecaedro. Gli angoli diedri del dodecaedro sono di circa 116,5◦, maper evitare singolarit`a coniche nel quoziente, occorrerebbero angoli diedri di 120◦. Questisi possono ottenere deformando il dodecaedro euclideo ad un dodecaedro sferico. Cos`ıfacendo la sfera omologica risulta localmente isometrica ad S3.La deformazione necessaria `e comunque piccola, e il dodecaedro sferico da conside-rare `e conseguentemente “piccolo”: il suo volume `e 1/120 del volume di S3. Infatti, S3ammette una tassellazione con 120 tetraedri, in modo che la sfera omologica di Poincarési ottiene come quoziente mediante l’azione libera del gruppo binario dodecaedrale chepermuta i 120 tasselli. La proiezione `e il rivestimento universale della sfera omologica,il cui gruppo fondamentale ha quindi 120 elementi.Lo spazio di WhiteheadNel corso del secolo passato ci sono stati molti tentativi falliti di dimostrare lacongettura di Poincaré e anche diversi tentativi (ovviamente falliti anche questi) diconfutarla costruendo un controesempio.Nel 1934 J.H.C. Whitehead part`ı dalla seguente osservazione: se da una 3-variet`achiusa semplicemente connessa si toglie un punto si ottiene una 3-variet`a contraibile(come avviene per S3 − {∞} 5 R3 @ 0). Credette poi di aver dimostrato che una talevariet`a `e topologicamente equivalente a R3, e quindi rimettendo al suo posto il puntotolto si ottiene una variet`a topologicamente equivalente ad S3.Un anno dopo si accorse di essersi sbagliato e costru`ı un controesempio come u-nione infinita di tori, ciascuno incluso in modo omotopicamente banale nel successivo.La variet`a di Whitehead differisce da R3 per la sua struttura all’infinito, ma se la simoltiplica per R si ottiene uno spazio topologicamente equivalente ad R4. Quest’ultimapropriet`a gioca un ruolo essenziale nel lavoro di Freedman: costruzione di R4 esotici edimostrazione della congettura di Poincaré (topologica) in dimensione 4.Altri tentativi fallitiNel 1958 Bing diede una caratterizzazione di S3 come l’unica 3-variet`a chiusa orien-tabile in cui ogni nodo si pu`o deformare con continuit`a senza formare autointersezioniin modo da renderlo arbitrariamente piccolo (per esempio questo non vale nella variet`adi Whitehead). Cinque anni dopo, pubblic`o un articolo con una dimostrazione alter-nativa, perché quella originale assumeva una propriet`a dei nodi (la propriet`a P) che `estata dimostrata solo nel 2004 da Kronheimer e Mrowka. Nel seguito Bing, pensandoche potesserio esistere nodi senza la propriet`a P, si dedic`o a settimane alterne anche allaricerca di un controesempio alla congettura di Poincaré.Nel 1957 Papakyriakopoulos ottenne tre risultati fondamentali su cappi, dischi esfere nelle 3-variet`a (uno di questi, noto come lemma di Dehn, era stato pubblicatoda Dehn nel 1910 con una dimostrazione sbagliata). Questo gener`o un certo entusia-smo, nella convizione che finalmente ci fossero gli strumenti per provare la congetturadi Poincaré. Lo stesso Papakyriakopoulos lavor`o per quasi venti anni alla congettu-ra, riducendola a un’altra in teoria dei gruppi (mai dimostrata) e lasciando un lavoroincompiuto di 160 pagine sulle 3-variet`a (con una pagina bianca intestata “Lemma 14”).–4–
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In quegli stessi anni anche Moise si dedic`o alla congettura di Poincaré in competi-zione con Papakyriakopoulos (entrambi erano a Princeton), dopo aver risolto nel 1952 ilproblema della triangolazione delle 3-variet`a, dimostrando che ogni 3-variet`a ammetteuna struttura differenziabile sostanzialmente unica (fatto cruciale per il seguito).Ecco un elenco (non esaustivo) di altri matematici che hanno affrontato il problemaposto da Poincaré, con tecniche topologiche “classiche”: Haken (1963-1973, inaugur`o latopologia computazionale ed `e passato poi al teorema dei 4 colori), Stallings (1966, Howto not prove Poincaré conjecture), Armentrout (circa venti anni fino al 1981, alla ricercadi un controesempio), Gilman-Rolfsen (1983, congettura di Zeeman sulle 2-spine delle 3-variet`a), Poenaru (dal 1985 a oggi, centinaia di pagine di preprint), Rourke-Rêgo (1986,utilizzando il calcolo di Kirby), Rubinstein (1994, algoritmo per il riconoscimento dellasfera), Dunwoody (2002, otto versioni su arXiv: “A proof of the Poincaré conjecture?”)Topologia e geometriaNel 1976 Thurston propose di adottare un punto di vista completamente diverso(che traeva peraltro spunto dagli stessi lavori di Poincaré), e formul`o una congetturamolto pi`u ambiziosa di quella di Poincaré, puntando alla classificazione di tutte le 3-variet`a chiuse orientabili.L’idea era quella di dotare le 3-variet`a di strutture geometriche “rigide”, cio`e di me-triche riemanniane localmente omogenee. Rispetto tali strutture geometriche la strut-tura topologica globale risulta in un certo senso “uniformemente distribuita” in tuttolo spazio. Ci`o ne facilita il riconoscimento e lo studio, grazie all’utilizzo degli strumentigeometrico-analitici della geometria differenziale.Le geometrie 2-dimensionaliIn dimensione 2, ci sono solo tre possibili modelli geometrici (a meno di cambiamentidi scala) tutti localmente isotropi: R2 (piano euclideo), S2 (sfera euclidea) e H2 (pianoiperbolico). Questi si distinguono per avere rispettivamente curvatura nulla, positivae negativa (K = (α + β + γ − π)/A, per ogni triangolo geodetico). In S2 `e possibilecostruire poligoni regolari con angoli arbitrariamente grandi (fino a 180◦), mentre in H2gli angoli possono essere resi arbitrariamente piccoli.Il teorema di uniformizzazionePoincaré ha dimostrato che ogni superficie chiusa orientabile pu`o essere dotata diuna struttura geometrica (metrica riemanniana localmente omogenea) unica (a meno dicambiamento di scala). Le uniche superfici chiuse orientabili ad ammettere una strut-tura euclidea o sferica sono rispettivamente il toro e la sfera. Tutte le altre superficiammettono una struttura iperbolica.Le geometrie 3-dimensionaliIn dimensione 3, i modelli geometrici locali sono otto (a meno di cambiamenti discala): R3 (spazio euclideo), S3 (3-sfera euclidea) e H3 (spazio iperbolico) sono isotropi;S2 × R ed H2 × R sono prodotti simmetrici; Sol, Nil e gSL2R sono gruppi di Lie conmetriche invarianti (non simmetrici). Anche in questo caso valgono i seguenti fatti:1) unicit`a della struttura geometrica (a meno di cambiamenti di scala), cio`e se una 3-variet`a ammette una struttura geometrica di un tipo non pu`o ammetterne una di un–5–
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altro tipo; 2) l’unico tipo di variet`a geometriche interessante `e quello iperbolico, gli altricontengono solo casi sporadici (10 per R3, 2 per S2 × R) completamente classificati(sono tutti fibrati di Seifert ad eccezione delle variet`a di tipo Sol). Per quanto riguardal’esistenza invece la situazione `e completamente diversa da quelle delle superfici: nontutte le 3-variet`a chiuse orientabili ammettono una struttura geometrica.La congettura di ThurstonLa congettura di geometrizzazione di Thurston afferma che ogni 3-variet`a chiusaorientabile pu`o essere decomposta tagliandola lungo sfere e tori “non banali”, in modoche ciascun pezzo, dopo aver tappato i buchi sferici, ammette una struttura geometricacon volume finito.In particolare, la congettura di Thurston implica quella di Poincaré. Infatti una3-variet`a chiusa semplicemente connessa non pu`o essere tagliata in modo “non banale”,quindi la congettura di geometrizzazione implica che deve essere essa stessa geometrica.Allora, sempre per la semplice connessione deve essere topologicamente equivalente aduno degli spazi modello elencati sopra. E l’unico di tali spazi che sia chiuso `e S3.Thurston `e riuscito a dimostrare la sua congettura solo per le 3-variet`a chiuseorientabili che contengano una surperficie “non banale”. Cio`e in quasi tutti i casi, esclusoper`o quello semplicemente connesso (proprio quello della congettura di Poincaré).Hamilton: il flusso di RicciNegli anni ’80 Hamilton propose il seguente schema per costruire variet`a geome-triche: partendo da una 3-variet`a chiusa orientabile con una qualunque metrica, si favariare la metrica secondo una legge di evoluzione che tenda a diffondere la curvatura,nella speranza di arrivare ad una nuova metrica localmente omogenea (analogamente aquanto avviene per la diffusione del calore all’interno di un corpo, fino al raggiungimentodell’equilibrio termico, quando tutti i punti del corpo hanno la stessa temperatura).L’equazione che regola questa evoluzione (flusso di Ricci) `e: g0i,j(t) = −2R(gi,j(t))(dove R denota il tensore di Ricci). L’analogia con l’equazione del calore risulta evidentese si scrive l’equazione di evoluzione per il tensore di Ricci stesso: R0i,j(t) = ∆Ri,j +Qi,j(dove Qi,j `e un termine quadratico).Hamilton riusc`ı a dimostrare che se si parte con una metrica con curvatura positiva,allora la variet`a collassa in un tempo finito T; inoltre, la curvatura resta sempre positivae se si riscala la metrica in modo da mantenere costante il volume della variet`a, allorail limite per t → T `e una variet`a a curvatura costante (quindi sferica).Successivamente sugger`ı l’idea che lo stesso schema potesse essere utilizzato perdimostrare la congettura di Thurston. Comunque, se non si fa nessuna ipotesi sullametrica iniziale, durante l’evoluzione si possono ottenere delle singolarit`a (collassamentiparziali della variet`a), che non sono eliminabili mediante riscalatura.Perelman: le singolarit`aPerelman ha studiato tali singolarit`a, dimostrando che si tratta essenzialmente solodi sfere che collassano (eliminabili mediante chirugia) o intere componenti che collassanoa una circonferenza (con geometria di tipo S2 ×R). Nell’evoluzione si possono presentareinfinite singolarit`a, ma solo un numero finito di esse `e significativo dal punto di vistatopologico (e ce n’`e comunqne solo un numero finito in ogni intervallo di tempo limitato).–6–
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I pezzi che sopravvivono per un tempo infinito, si suddividono mediante tori inregioni in cui la geometria tende a diventare iperbolica e regioni che “collassano”. Questeultime ammettono struttura geometrica (non generata dall’evoluzione del flusso di Ricci)di tipo S3, Sol, Seifert (R3, S3, S2 × R, H2 × R, Nil e gSL2R) o R3, rispettivamente aseconda che la dimensione finale del collassamento sia 0,1,2 o 3.Per le variet`a semplicemente connesse (con gruppo fondamentale finito), l’argo-mento si pu`o semplificare. Infatti, Perelman ha fatto vedere che in questo caso tutta lavariet`a collassa dopo un tempo finito, quindi c’`e solo un numero finito di singolarit`a.Questa dimostrazione della congettura di Poincaré, sebbene sia in linea con le i-dee di Poincaré, lascia un po’ l’amaro in bocca: in tutte le altre dimensioni `e possibileprovare la sua generalizzazione con tecniche topologiche “classiche”. La ricerca di unadimostrazione pi`u diretta ed elementare continuer`a certamente. D’altra parte, in occa-sione del Congresso modiale dei matematici del 2000, Smale aveva incluso la “soluzione”della congettura di Poincaré nella sua lista di problemi per questo secolo.Qualche letturaArticoli introduttivi[1] J. Milnor, Towards the Poincaré Conjecture and the classification of 3-manifolds,Notices Amer. Math. Soc. 50 (2003), 1226–1233.[2] M. Anderson, Geometrization of 3-Manifolds via the Ricci Flow, Notices Amer.Math. Soc. 51 (2004), 184–193.Articoli originali[3] G. Perelman, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications,preprint 2003 (39 pagine), arXiv:math/0211159.[4] G. Perelman, Ricci flow with surgery on three-manifolds, preprint 2003 (22 pagine),arXiv:math/0303109.[5] G. Perelman, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certainthree-manifolds, preprint 2003 (7 pagine), arXiv:math/0307245.Note dettagliate[6] B. Kleiner, J. Lott, Notes on Perelman’s papers, arXiv:math/0605667 (200 pagine).[7] J. Morgan, G. Tian, Ricci Flow and the Poincare Conjecture, arXiv:math/0607607(492 pagine).[8] H.-D. Cao, X.-P. Zhu, Hamilton-Perelman’s Proof of the Poincaré Conjecture andthe Geometrization Conjecture, Asian J. Math., 10 (2006), 165-492, versione revi-sionata: arXiv:math/0612069 (366 pagine).Testi divulgativi[9] D. O’Shea, La congettura di Poincaré, Rizzoli 2007.
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